G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая $G(z)$) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. $G$-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса.

Формально $G$-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

$G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения

$G$-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

$G(z+1)=\Gamma (z)G(z)$

Таким образом,

$G(n)=\operatorname {sf} (n-2)$, где $\operatorname {sf} (x)$— суперфакториал $x$.

Например,

$G(8)=\operatorname {sf} (6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200$

если принять, что $G(1)=1$. В дифференциальном уравнении подразумевается, что $G$ принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

$G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}$

таким образом

$G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}$

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет $G$-функцию, если добавлено условие выпуклости: $(\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0$.

Дифференциальное уравнение для $G$-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для $G$-функции, доказанным Германом Кинкелином:

$G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.$

Формула умножения

Схожая с Гамма-функцией, $G$-функция также имеет формулу умножения:

$G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right),$

где

$K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.$

Здесь $\zeta ^{\prime }$ — это дзета-функция Римана, $A$ — это постоянная Глейшера—Кинкелина.